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無理方程式を解くときに注意すること3つ【問題付き】

数学

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数Ⅲで扱われる無理方程式の解法ですが、気をつけることが少し多いので、この記事でまとめて理解しましょう！後半は少々レベル高めです。

例題、演習問題を作りましたので、ご自身の手で解いて解法を身につけてください。

無縁解に留意せよ！(基礎)

例題

$\sqrt{4-x}=\displaystyle\frac{1}{3}x+1$ を解け。

解

両辺2乗して、 $(4-x)=\displaystyle\left(\frac{1}{3}x+1\right)^2$ より、

$4-x=\displaystyle\frac{1}{9}x^2+\frac{2}{3}x+1$

$\displaystyle\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{3}x-3=0$

$x^2+15x-27=0$

$x=\displaystyle \frac{-15\pm\sqrt{15^2+4\cdot27}}{2}$

$x=\displaystyle \frac{-15\pm\sqrt{333}}{2}$

$x=\displaystyle \frac{-15\pm3\sqrt{37}}{2}$ ...A

というのは早とちりです。この場合は $\pm$ がマイナスの方が無縁解(方程式の本当の解ではない数)です。

$\sqrt{4-x}$ は正の値しか取れないので、 $\displaystyle\frac{1}{3}x+1\geq0\rightarrow x\geq-3$ です。明らかに $x=\displaystyle \frac{-15-3\sqrt{37}}{2}$ は $-3$ より小さいので無縁解です。もちろんそのまま代入して確かめても良いのですが、2重根号が出てきて非常に面倒なので避けています。

このように(根号のある)無理方程式は無縁解を持つことがあります。このことはグラフを描いても明らかです。

ちなみに無縁解は $-\sqrt{4-x}=\displaystyle\frac{1}{3}x+1$ の解になっていて、これははじめに両辺を2乗したことによって発生したものです。

参考グラフ( $y=\sqrt{5-x}とy=\displaystyle \frac{1}{3}x+1$ )

演習問題

$\displaystyle \sqrt{7-2x}=\frac{3}{4}x+1$ を解け。

二重根号を突破せよ！(標準)

例題

$\displaystyle\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}=x-\frac{3}{2}$ を解け。

解

両辺2乗する......と最終的に4次方程式になって面倒なので、視点を変える。2重根号が外せそうなので、 $x-2=a,1=b$ とおいてみると、左辺は

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{x-2}+1$ となって普通に解けるようになる。1を移項して

$\displaystyle\sqrt{x-2}=x-\frac{5}{2}$

両辺2乗して

(計算過程省略)

$\displaystyle x=3\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるが、 $\displaystyle x-\frac{5}{2}\geq0$

を満たすのは $\pm$ が正の方だけ。よって、 $\displaystyle x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}$

2重根号の外し方は一年生で習ったことなので、盲点になりやすいです。注意しましょう。

演習問題

$3\sqrt{x+1-4\sqrt{x-3}}=x-1$ を解け。

ヒント:式をいじっていると......

根号が何個あっても大丈夫！(応用)

例題

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=2$ を解け。

解

落ち着いて一旦両辺2乗してみる。

$2x-3+2\sqrt{(x-1)(x-2)}=4$

$\displaystyle\sqrt{(x-1)(x-2)}=-x+\frac{7}{2}$

普通に解ける形になった。また両辺2乗して、

(計算過程省略)

$\displaystyle x=\frac{41}{16}$ である。これは $\displaystyle \frac{7}{2}$ よりも小さいのでOK。

このように両辺2乗を複数回使えば解決します。

演習問題

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}=\sqrt{x+2}$ を解け。

まとめ

他にも色々とテクニックがあって難しくできるのですが、ここでは紹介は省きます。

最後にまとめの一問を。

方程式

$\displaystyle\sqrt{2x+1+2\sqrt{x^2+x-2}}= \sqrt{x+5-2\sqrt{3(x+2)}}+x$

を解け。

ではでは〜〜