Rabbigoter(ラビゴッタ)

Ravigoterはフランス語で「元気付ける」という意味です。更新停止中。(現在はTwitterとnoteで活動しています)

きららMAX2019/12月号　ご注文はうさぎですか？の扉絵について

ご注文はうさぎですか？数学

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問題提起

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今月も美しいイラストですね......それにしても肉付きがすごい。影の付け方がいやらしい......Koi先生舌ペロ好きすぎませんかね、あと太ももも！

その他に数学好きの私には目につくことがあります。トランプのスートが全て♡である上に、数字は1,2,3,4,8,9,10です。数字が妙に連続していますね......なので2つに分けます。

1,2,3,4

8,9,10

これらをそれぞれ足すと、10と27です。そして10/27といえば「青山先生の誕生日」ではありませんか！しかも今月のお話は青山先生がメインです！これは意図的なのでないでしょうか。(深読み丸)

ここで次の数学的疑問が生まれます。

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問題:10および27を、連続するトランプ(ただしスートは♡であり、トランプは一組しかない)の数字の和、つまり連続した2つ以上の、1から13までの自然数の和で表す方法はただ一通りか？

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ということで考えていきましょう。(結果だけ見たい人は最後まで飛ばしてもOKです)

定式化して解く

今回は連続する自然数の和が10,27になれば良いので、 $l,n$ を自然数、 $k,m$ を非負整数(今回の立式の都合上0を含めた)とすると、次の2式が立てられます。

$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}-\frac{m(m+1)}{2}=10$ ...①

$\displaystyle \frac{l(l+1)}{2}-\frac{k(k+1)}{2}=27$ ...②

(ただし、 $n$ は $m$ より大きく、 $l$ は $k$ より大きい。また、 $m,n,l,k$ のどれもが0以上13以下である。)

※これは連続する自然数和を1からの自然数和の引き算で表しています。

　例えば8+9+10を(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4+5+6+7)とすることです。

数学Aレベルの不定方程式になりました。解けそう。

①から式を変形していきます。この形は嬉しいことに左辺が因数分解できます。

$n^2-m^2+n-m=20$

$(n-m)(n+m)+(n-m)\cdot1=20$

$(n-m)(n+m+1)=20$

左辺の因数にそれぞれ20の約数を割り振ります。まず明らかに $n+m+1\geq 2$ だから、正の約数のみ考えれば良く、また $n+m+1$ は $n-m$ より大きいことから候補は次の3つだけです。

1. $n+m+1=20,n-m=1$

2. $n+m+1=10,n-m=2$

3. $n+m+1=5,n-m=4$

それぞれ解くと、

1. $n=10,m=9$

2. $\displaystyle n=\frac{11}{2},m=\frac{7}{2}$

3. $n=4,m=0$

もちろん2.はm,nが自然数になっていないので不適。1.も10=10を示しているので不適。

よって3.の10=1+2+3+4のみ適するのです。

②も同様に、左辺を変形して、

$(l-k)(l+k+1)=54$ から、因数を割り振って、候補は4つできます。

A. $l+k+1=54,l-k=1$

B. $l+k+1=27,l-k=2$

C. $l+k+1=18,l-k=3$

D. $l+k+1=9,l-k=6$

解いて、

A. $l=27,k=26$

B. $l=14,k=12$

C. $l=10,k=7$

D. $l=7,k=1$

A.、B.は0~13の範囲から外れているので不適。D.は、27=7+6+5+4+3+2を示しているので、トランプを使って表そうとすると♡の2,3,4はすでに①で使われているためにカードが足りません。よってこの組も不適です。

したがって②の解はC.の27=8+9+10のみです。

※一般に、 $2^n$ (nは非負整数)の形をした自然数は連続する自然数の和で表すことはできません。今回は10と27なので大丈夫です。

結果

検証結果、問題の答えは、「Yes」でした。ただ一通りです。

これはランダムに♡札を選んでいたとしたら、確率的にはかなり低いです。(計算しようとも思いましたが、根元事象をどうすればいいかが分からなかったので割愛)

しかも青山さん回に持ってきたあたり、怪しい......()

思ったんですがKoi先生の絵ってトランプが結構出てきますけど、♡ばかりですね。スートだけならその他もありましたが。きっと好きなんでしょう......いや、なにか意味があるのかもしれません。考えてみるのも面白いかも......?

ではでは〜