自作問題No.3 解答・解説

答えは11です。

難しい整数問題に対しては、まず具体的な数で実験するのが吉です。

また、素数が絡むときは「2」を意識しましょう。

今回の場合、実験していると2や、3の倍数がp,qになると予想できます。

すると、次のような解法が自然に出てくるはずです。

p,qがともに奇数だと、は偶数になる。ところが偶数かつ素数なのは

2だけで、それは不適になる。(p,qがともに1でないといけなくなる)

ゆえにp,qのうち、少なくとも1つが2である。

ここで条件よりpが2になる。(qが2だと、pも2でなくてはならない)

よってが素数になるようにすれば良い。

ここで

(i)qが3の倍数、つまり3のとき、となって解が見つかった。

(ii)qが3で割って1余る素数のとき、は3で割り切れるのでは

　3になるが、それだととなるので不適。

(iii)qが3で割って2余る素数のとき、は3で割り切れるのでは

　3になるが、それだととなるので不適。

したがって答えは11のみということになる。

この問題はかの有名な京大の問題を参考にしています。