自作問題No.7　解答・解説

まず、分子の $x\sin x$ が邪魔で仕方ないのでなんとかします。そこでしばしば使われる以下の式を用います。

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$

・証明

左辺の式から右辺を導く。 $x=\pi-t$ と置換して、 $dx=-dt$ となり、範囲は $\pi \rightarrow 0$ になる。よって積分範囲をそのままにすれば $dx=dt$ でよく、

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx=\int_{0}^{\pi}(\pi-t) f(\sin(\pi-t))dt=\pi \int_{0}^{\pi} f(\sin t) dt-\int_{0}^{\pi} tf(\sin t)dt$

まったく同じ形が出てきたので、移行すると、

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$

ー証明終了ー

よって与えられた定積分の値 $I$ は、

$\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\sin^4x-2\sin^2x+2} dx$

分母は $(1-\sin^2x)^2+1=\cos^4x+1$ と変形できる。ここで、 $\cos x=t$ と置換すると、 $\displaystyle dx=-\frac{1}{\sin x}dt$ で積分範囲は $1 \rightarrow -1$ になるので、

$\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1} \frac{1}{t^4+1}dt$

これは有理関数なので積分できますね。 $t=x$ に戻して、(打ち間違いそうになるので)

$x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$ から、部分分数分解を試みる。

$\displaystyle \frac{1}{x^4+1}=\frac{ax+b}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{cx+d}{x^2-\sqrt{2}x+1}$ とおく。通分して分子を係数比較することにより、(計算省略)

$\displaystyle a=\frac{1}{2\sqrt{2}},b=\frac{1}{2},c=-\frac{1}{2\sqrt{2}},d=\frac{1}{2}$

となります。したがって $I$ は、

$\displaystyle I= \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left( \int_{-1}^{1}\frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}dx-\int_{-1}^{1}\frac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}dx \right)$

左側の積分を $I^{+}$ 、右側の積分を $I^{-}$ とおく。(かなり技巧的な変形なので行間を読みながらじっくり考えてください)

$\displaystyle I^{+}=\int_{-1}^{1} \frac{(x^2+\sqrt{2}x+1)'}{2(x^2+\sqrt{2}x+1)}+\frac{1}{\sqrt{2}(x^2+\sqrt{2}x+1)}dx$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) -\int_{-1}^{1} \frac{(\sqrt{2}x+1)'}{1+(\sqrt{2}x+1)^2}dx$

$=\log(\sqrt{2}+1)+\arctan{(\sqrt{2}+1)}+\arctan{(\sqrt{2}-1)}$

まったく同様に変形して(先程同様、 $\arctan{(-x)}=-\arctan{x}$ に注意)

$I^{-}=\log(\sqrt{2}-1)-\arctan{(\sqrt{2}-1)}-\arctan{(\sqrt{2}+1)}$

よって

$\displaystyle I=\frac{\pi}{4\sqrt{2}}(I^{+}-I^{-})=\frac{\pi}{2\sqrt{2}} ( \log(\sqrt{2}+1)+\arctan{(\sqrt{2}+1)}+\arctan{(\sqrt{2}-1)} )$

ここで、 $\tan{(\alpha)} =\sqrt{2}+1,\tan{(\beta)} =\sqrt{2}-1$ とおくと、タンジェントの加法定理から、

$\tan{(\alpha+\beta)}=\infty$

ゆえに $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2} \rightarrow \arctan{(\sqrt{2}+1)}+\arctan{(\sqrt{2}-1)}=\frac{\pi}{2}$ だから

$\displaystyle I=\frac{\pi}{4\sqrt{2}}(2\log(\sqrt{2}+1)+\pi)$

となります。

長かったですね。お疲れ様でした！

Rabbigoter(ラビゴッタ)

Ravigoterはフランス語で「元気付ける」という意味です。更新停止中。(現在はTwitterとnoteで活動しています)

自作問題No.7　解答・解説