Rabbigoter(ラビゴッタ)

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きららMAX2019/12月号　ご注文はうさぎですか？の扉絵について

ご注文はうさぎですか？ 数学

問題提起

 

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今月も美しいイラストですね......それにしても肉付きがすごい。影の付け方がいやらしい......Koi先生舌ペロ好きすぎませんかね、あと太ももも！

 

 

 

その他に数学好きの私には目につくことがあります。トランプのスートが全て♡である上に、数字は1,2,3,4,8,9,10です。数字が妙に連続していますね......なので2つに分けます。

 

1,2,3,4

 

8,9,10

 

これらをそれぞれ足すと、10と27です。そして10/27といえば「青山先生の誕生日」ではありませんか！しかも今月のお話は青山先生がメインです！これは意図的なのでないでしょうか。(深読み丸)

 

ここで次の数学的疑問が生まれます。

 

-------------------------------------------------------------

問題:10および27を、連続するトランプ(ただしスートは♡であり、トランプは一組しかない)の数字の和、つまり連続した2つ以上の、1から13までの自然数の和で表す方法はただ一通りか？

-------------------------------------------------------------

 

ということで考えていきましょう。(結果だけ見たい人は最後まで飛ばしてもOKです)

 

定式化して解く

 

今回は連続する自然数の和が10,27になれば良いので、l,nを自然数、k,mを非負整数(今回の立式の都合上0を含めた)とすると、次の2式が立てられます。

 

\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}-\frac{m(m+1)}{2}=10...①

\displaystyle \frac{l(l+1)}{2}-\frac{k(k+1)}{2}=27...②

(ただし、nはmより大きく、lはkより大きい。また、m,n,l,kのどれもが0以上13以下である。)

 ※これは連続する自然数和を1からの自然数和の引き算で表しています。

　例えば8+9+10を(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4+5+6+7)とすることです。

 

数学Aレベルの不定方程式になりました。解けそう。

 

①から式を変形していきます。この形は嬉しいことに左辺が因数分解できます。

n^2-m^2+n-m=20

(n-m)(n+m)+(n-m)\cdot1=20

(n-m)(n+m+1)=20

左辺の因数にそれぞれ20の約数を割り振ります。まず明らかにn+m+1\geq 2だから、正の約数のみ考えれば良く、またn+m+1はn-mより大きいことから候補は次の3つだけです。

 

1.n+m+1=20,n-m=1

2.n+m+1=10,n-m=2

3.n+m+1=5,n-m=4

 

それぞれ解くと、

1.n=10,m=9

2.\displaystyle n=\frac{11}{2},m=\frac{7}{2}

3.n=4,m=0

もちろん2.はm,nが自然数になっていないので不適。1.も10=10を示しているので不適。

よって3.の10=1+2+3+4のみ適するのです。

 

②も同様に、左辺を変形して、

 

(l-k)(l+k+1)=54から、因数を割り振って、候補は4つできます。

 

A.l+k+1=54,l-k=1

B.l+k+1=27,l-k=2

C.l+k+1=18,l-k=3

D.l+k+1=9,l-k=6

 

解いて、

 

A.l=27,k=26

B.l=14,k=12

C.l=10,k=7

D.l=7,k=1

 

A.、B.は0~13の範囲から外れているので不適。D.は、27=7+6+5+4+3+2を示しているので、トランプを使って表そうとすると♡の2,3,4はすでに①で使われているためにカードが足りません。よってこの組も不適です。

 

したがって②の解はC.の27=8+9+10のみです。

 

※一般に、2^n(nは非負整数)の形をした自然数は連続する自然数の和で表すことはできません。今回は10と27なので大丈夫です。

 

結果

 

検証結果、問題の答えは、「Yes」でした。ただ一通りです。

 

これはランダムに♡札を選んでいたとしたら、確率的にはかなり低いです。(計算しようとも思いましたが、根元事象をどうすればいいかが分からなかったので割愛)

 

しかも青山さん回に持ってきたあたり、怪しい......()

 

思ったんですがKoi先生の絵ってトランプが結構出てきますけど、♡ばかりですね。スートだけならその他もありましたが。きっと好きなんでしょう......いや、なにか意味があるのかもしれません。考えてみるのも面白いかも......?

 

ではでは〜

自作問題No.7　解答・解説

数学 自作問題　解答

まず、分子のx\sin xが邪魔で仕方ないのでなんとかします。そこでしばしば使われる以下の式を用います。

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx

 

・証明

左辺の式から右辺を導く。x=\pi-tと置換して、dx=-dtとなり、範囲は\pi \rightarrow 0になる。よって積分範囲をそのままにすればdx=dtでよく、

 

\displaystyle \int_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx=\int_{0}^{\pi}(\pi-t) f(\sin(\pi-t))dt=\pi \int_{0}^{\pi} f(\sin t) dt-\int_{0}^{\pi} tf(\sin t)dt

まったく同じ形が出てきたので、移行すると、

 \displaystyle \int_{0}^{\pi} xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx

ー証明終了ー

 

よって与えられた定積分の値Iは、

 

\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\sin^4x-2\sin^2x+2} dx

 

分母は(1-\sin^2x)^2+1=\cos^4x+1と変形できる。ここで、\cos x=tと置換すると、\displaystyle dx=-\frac{1}{\sin x}dtで積分範囲は1 \rightarrow -1になるので、

 

\displaystyle I=\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1} \frac{1}{t^4+1}dt

 

これは有理関数なので積分できますね。t=xに戻して、(打ち間違いそうになるので)

x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)から、部分分数分解を試みる。

 

\displaystyle \frac{1}{x^4+1}=\frac{ax+b}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{cx+d}{x^2-\sqrt{2}x+1}とおく。通分して分子を係数比較することにより、(計算省略)

 

\displaystyle a=\frac{1}{2\sqrt{2}},b=\frac{1}{2},c=-\frac{1}{2\sqrt{2}},d=\frac{1}{2}

となります。したがってIは、

 

\displaystyle I= \frac{\pi}{4\sqrt{2}} \left( \int_{-1}^{1}\frac{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}dx-\int_{-1}^{1}\frac{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}dx \right)

 

左側の積分をI^{+}、右側の積分をI^{-}とおく。(かなり技巧的な変形なので行間を読みながらじっくり考えてください)

 

\displaystyle I^{+}=\int_{-1}^{1} \frac{(x^2+\sqrt{2}x+1)'}{2(x^2+\sqrt{2}x+1)}+\frac{1}{\sqrt{2}(x^2+\sqrt{2}x+1)}dx

\displaystyle =\frac{1}{2}\log \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right) -\int_{-1}^{1} \frac{(\sqrt{2}x+1)'}{1+(\sqrt{2}x+1)^2}dx

=\log(\sqrt{2}+1)+\arctan{(\sqrt{2}+1)}+\arctan{(\sqrt{2}-1)}

 

まったく同様に変形して(先程同様、\arctan{(-x)}=-\arctan{x}に注意)

 I^{-}=\log(\sqrt{2}-1)-\arctan{(\sqrt{2}-1)}-\arctan{(\sqrt{2}+1)}

 

よって

\displaystyle I=\frac{\pi}{4\sqrt{2}}(I^{+}-I^{-})=\frac{\pi}{2\sqrt{2}} (  \log(\sqrt{2}+1)+\arctan{(\sqrt{2}+1)}+\arctan{(\sqrt{2}-1)} )

 

ここで、\tan{(\alpha)} =\sqrt{2}+1,\tan{(\beta)} =\sqrt{2}-1とおくと、タンジェントの加法定理から、

\tan{(\alpha+\beta)}=\infty

ゆえに\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2} \rightarrow \arctan{(\sqrt{2}+1)}+\arctan{(\sqrt{2}-1)}=\frac{\pi}{2}だから

 

\displaystyle I=\frac{\pi}{4\sqrt{2}}(2\log(\sqrt{2}+1)+\pi)

となります。

長かったですね。お疲れ様でした！

無理方程式を解くときに注意すること3つ【問題付き】

数学

数Ⅲで扱われる無理方程式の解法ですが、気をつけることが少し多いので、この記事でまとめて理解しましょう！後半は少々レベル高めです。

例題、演習問題を作りましたので、ご自身の手で解いて解法を身につけてください。

 

無縁解に留意せよ！(基礎)

 

例題 

\sqrt{4-x}=\displaystyle\frac{1}{3}x+1 を解け。

 

解

両辺2乗して、(4-x)=\displaystyle\left(\frac{1}{3}x+1\right)^2より、

4-x=\displaystyle\frac{1}{9}x^2+\frac{2}{3}x+1

\displaystyle\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{3}x-3=0

x^2+15x-27=0

x=\displaystyle \frac{-15\pm\sqrt{15^2+4\cdot27}}{2}

x=\displaystyle \frac{-15\pm\sqrt{333}}{2}

x=\displaystyle \frac{-15\pm3\sqrt{37}}{2}...A

 

というのは早とちりです。この場合は\pmがマイナスの方が無縁解(方程式の本当の解ではない数)です。

\sqrt{4-x}は正の値しか取れないので、\displaystyle\frac{1}{3}x+1\geq0\rightarrow x\geq-3です。明らかにx=\displaystyle \frac{-15-3\sqrt{37}}{2}は-3より小さいので無縁解です。もちろんそのまま代入して確かめても良いのですが、2重根号が出てきて非常に面倒なので避けています。

このように(根号のある)無理方程式は無縁解を持つことがあります。このことはグラフを描いても明らかです。

ちなみに無縁解は-\sqrt{4-x}=\displaystyle\frac{1}{3}x+1 の解になっていて、これははじめに両辺を2乗したことによって発生したものです。

参考グラフ(y=\sqrt{5-x}とy=\displaystyle \frac{1}{3}x+1)

www.desmos.com

 

演習問題

\displaystyle \sqrt{7-2x}=\frac{3}{4}x+1を解け。

 

二重根号を突破せよ！(標準)

 

例題

\displaystyle\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}=x-\frac{3}{2}を解け。

 

解

両辺2乗する......と最終的に4次方程式になって面倒なので、視点を変える。2重根号が外せそうなので、x-2=a,1=bとおいてみると、左辺は

\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{x-2}+1となって普通に解けるようになる。1を移項して

\displaystyle\sqrt{x-2}=x-\frac{5}{2}

両辺2乗して

(計算過程省略)

\displaystyle x=3\pm\frac{\sqrt{3}}{2}となるが、\displaystyle x-\frac{5}{2}\geq0

を満たすのは\pmが正の方だけ。よって、\displaystyle x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}

 

2重根号の外し方は一年生で習ったことなので、盲点になりやすいです。注意しましょう。

 

演習問題

3\sqrt{x+1-4\sqrt{x-3}}=x-1を解け。

ヒント:式をいじっていると......

 

根号が何個あっても大丈夫！(応用)

 

例題

\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=2を解け。

 

解

落ち着いて一旦両辺2乗してみる。

2x-3+2\sqrt{(x-1)(x-2)}=4

\displaystyle\sqrt{(x-1)(x-2)}=-x+\frac{7}{2}

普通に解ける形になった。また両辺2乗して、

(計算過程省略)

\displaystyle x=\frac{41}{16}である。これは\displaystyle \frac{7}{2}よりも小さいのでOK。

 

このように両辺2乗を複数回使えば解決します。

 

演習問題

\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}=\sqrt{x+2}を解け。

 

まとめ

他にも色々とテクニックがあって難しくできるのですが、ここでは紹介は省きます。

最後にまとめの一問を。

 

方程式 

\displaystyle\sqrt{2x+1+2\sqrt{x^2+x-2}}= \sqrt{x+5-2\sqrt{3(x+2)}}+x

を解け。 

 

ではでは〜〜

 

自作問題No.6　解答・解説

数学 自作問題　解答

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微分を使って単調増加を示すのがミソ。

 

ところで、上の画像はLaTeXという数式描画言語で書いています。

慣れればかなりのスピードで綺麗に数式を書けるので便利ですよ。

おそらく理系大学に進学してレポートを書くとなると100%使います。

いずれLaTeXの使い方をまとめた記事も書こうと思います。

自作問題No.6　不定方程式(3変数)　難易度☆6

数学 自作問題

x,y,zはx\leq y\leq zを満たす自然数とする。

不定方程式xyz-2xy-3yz+4zx-7x-8y+3z-9=0の解の組をすべて求めよ。

別記事に解答・解説を載せます。画像にする予定です。

 

解答はこちら↓

自作問題No.6 解答・解説 - Rabbigoter〜ごちうさと数学の考察ブログ〜

自作問題No.5　解答・解説

数学 自作問題　解答

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合同式は便利ですね。

 

ところで、上の画像はLaTeXという数式描画言語で書いています。

慣れればかなりのスピードで綺麗に数式を書けるので便利ですよ。

おそらく理系大学に進学してレポートを書くとなると100%使います。

いずれLaTeXの使い方をまとめた記事も書こうと思います。

自作問題No.5　整数問題(倍数)　難易度☆4~5

数学 自作問題

x^3+7x+6が63の倍数となるような2桁の自然数xをすべて求めよ。

別記事に解答・解説を載せます。 画像で解答を載っける予定です。

 

解答はこちら↓

自作問題No.5 解答・解説 - Rabbigoter〜ごちうさと数学の考察ブログ〜

自作問題No.4　解答・解説

数学 自作問題　解答

今回はなかなか難しかったはずです。次数が高い不定方程式は剰余に弱いので

modを使います。法は17です。以下模範解答の画像です。

 

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このネタはブログてっぃちMarshの数学（Mathematics)教室様から頂きました。

7k+16s=1とおくところが少々トリッキーです。

この手法はx,yの次数がどちらかに偏っている場合に使えますね。

オイラーの定理を繰り返し使うことでも同じ答えが求まります。

 

ところで、上の画像はLaTeXという数式描画言語で書いています。

慣れればかなりのスピードで綺麗に数式を書けるので便利ですよ。

おそらく理系大学に進学してレポートを書くとなると100%使います。

いずれLaTeXの使い方をまとめた記事も書こうと思います。

自作問題No.4　整数問題(不定方程式)　難易度☆6

数学 自作問題

x,yを整数とするとき、不定方程式x^7+17y=3の解xをすべて求めよ。

別記事に解答・解説を載せます。

画像で解答を載っける予定です。

 

解答はこちら↓

自作問題No.4 解答・解説 - Rabbigoter〜ごちうさと数学の考察ブログ〜

自作問題まとめ

自作問題 数学

問題まとめ

難易度は☆1~☆7まであります。現在の問題数は7です。

No.1　式と計算☆2

自作問題No.1 まずは簡単なものから

 No.2　因数分解☆3~4

自作問題No.2 因数分解
No.3　素数☆3~4

自作問題No.3 整数問題(素数)

 No.4　不定方程式☆6

自作問題No.4 整数問題(不定方程式)

No.5　倍数☆4~5

自作問題No.5 整数問題(倍数)

No.6　不定方程式☆6

自作問題No.6 不定方程式(3変数)

No.7　定積分☆5

自作問題No.7 定積分(三角関数)

自作問題No.3 解答・解説

自作問題　解答 数学

答えは11です。

難しい整数問題に対しては、まず具体的な数で実験するのが吉です。

また、素数が絡むときは「2」を意識しましょう。

今回の場合、実験していると2や、3の倍数がp,qになると予想できます。

すると、次のような解法が自然に出てくるはずです。

 

p,qがともに奇数だと、p+q^2は偶数になる。ところが偶数かつ素数なのは

2だけで、それは不適になる。(p,qがともに1でないといけなくなる)

ゆえにp,qのうち、少なくとも1つが2である。

ここで条件p\leq qよりpが2になる。(qが2だと、pも2でなくてはならない)

よってq^2+2が素数になるようにすれば良い。

ここで

(i)qが3の倍数、つまり3のとき、q^2+2=11となって解が見つかった。

(ii)qが3で割って1余る素数のとき、q^2+2は3で割り切れるのでq^2+2は

　3になるが、それだとq=1となるので不適。

(iii)qが3で割って2余る素数のとき、q^2+2は3で割り切れるのでq^2+2は

　3になるが、それだとq=1となるので不適。

したがって答えは11のみということになる。

 

この問題はかの有名な京大の問題を参考にしています。

自作問題No.2 解答・解説

自作問題　解答 数学

答えは

 -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

でした。

因数分解の基本は一つの文字についての整理です。今回はaでやってみましょう。

(与式)=(b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2)

　　   =(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)(b-c)

(b-c)でくくれますね

　　   =(b-c)\{a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)\}

この式の(b-c)以外の部分はaについて3次式で、先程のようにくくれる様子もない

ので、一旦ばらして、今度はbについて整理してみます。

　　   =(b-c)\{(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)\}

(c-a)でくくれます。

　　   =(b-c)(c-a)\{b^2+bc-a(a+c)\}

残りの()内を因数分解すると、

　　   =(b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c)

これを輪環の順に整理すると正解の式になります。

お疲れ様でした。

 

これの4乗、5乗...n乗のバージョンもあります。そちらもいずれ上げる予定です。

自作問題No.1 解答・解説

自作問題　解答 数学

答えは0です。

なぜなら因数を掛けていくと終わりかけの頃に(x-x)=0の項が出てくるからです。

まともに展開しようとすると泥沼です。ただのひっかけ問題でした。

 

いやあ、他の方々の自作問題はレベルが高いものが多いので、これくらいの難易度の方がわりとちょうど良かったりするんじゃないでしょうか。

(決して難しい問題は作りにくいからとかじゃないですよ！)